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Regla de L’Hôpital

Introducción

Recordemos que las indeterminaciones son expresiones que se obtienen en el cálculo de límites: infinito por cero, infinito dividido infinito, cero dividido cero, uno elevado a infinito, infinito elevado a cero, infinito menos infinito y cero elevado a cero.

La regla de L’Hôpital nos permite resolver algunas de estas indeterminaciones mediante el cálculo diferencial.

Regla de L’Hôpital

Supongamos que nos encontramos en alguna de estas situaciones:

Regla de L'Hôpital

El punto a al que tiende la x puede ser un número, más infinito o menos infinito.

Es decir, queremos calcular el límite de un cociente (una fracción) pero obtenemos cero dividido cero ó infinito dividido infinito.

Para simplificar el problema, no consideraremos las condiciones necesarias sobre la continuidad y derivabilidad de las funciones.

Entonces, la regla de L’Hôpital establece que

Regla de L'Hôpital

lo que quiere decir que el valor de la indeterminación es el mismo valor que el del límite del cociente de las derivadas del numerador y del denominador.

Al aplicar la regla, podemos obtener otra indeterminación. Si esta indeterminación también es cero divido cero o infinito dividido infinito podemos aplicar de nuevo la regla.

Regla de L’Hôpital para otras indeterminaciones

Hemos visto que la regla de L’Hôpital sólo se puede aplicar para las indeterminaciones cero dividido cero ó infinito dividido infinito. Sin embargo, podemos realizar operaciones en el límite para que la indeterminación se transforme en una de las dos permitidas por la regla.

Ejemplo

Regla de L'Hôpital

En este límite tenemos la indeterminación infinito elevado a cero (ya que 1/infinito es cero). En un principio no podemos aplicar la regla.

Si tenemos en cuenta la definición del logaritmo neperiano

Regla de L'Hôpital

entonces

Regla de L'Hôpital

(hemos usado una propiedad: el límite y el logaritmo pueden intercambiarse).

Vamos a resolver el límte del exponente:

Regla de L'Hôpital

(hemos usado las propiedades del logaritmo).

Este límite es infinito dividido infinito, así que podemos aplicar la Regla de L’Hôpital:

Regla de L'Hôpital

Por tanto, volviendo al comienzo,

Regla de L'Hôpital

Otros ejemplos y demostración

Enlace: Ejemplos de aplicación de la Regla de L’Hôpital y demostración de la primera regla de L’Hôpital.

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