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Matrices de Rotación

Voy a mostrar la demostracion de las matrices de rotación en coordenadas 2D y 3D.

Sean los puntos P(x,y) y Q(x’,y’) en Matrices de Rotación

Matrices de Rotación

Ahora bien, sean los puntos P(x,y,z) y Q(x’,y’,z’) en Matrices de Rotación. Si generalizamos la transformación anterior de dos componentes a tres, tenemos que z’=z, eso indica que el espacio rota por el eje z, es decir, alrededor del vector unitario (0,0,1). Análogamente podemos hacer rotar el espacio a travez del eje x o y. Para cada caso las transformaciones quedarían así.

Matrices de Rotación

Para el caso de un eje de rotación arbitrario, es decir, un vector unitario inclinado cualquiera Matrices de Rotación, se considera los siguientes elementos:

Matrices de Rotación

Comenzamos por hallar el punto R. Este es intersección de la recta que contiene al vector u con el plano de rotación, es más que suficiente utilizar el vector u y el punto P que son conocidos para encontrar las ecuaciones de ambos.

Matrices de Rotación

Con ello, procedemos en hallar la rotación.

Matrices de Rotación

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