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Matemáticas, lógica, acertijos.

Matemáticas, lógica, acertijos.

Pensar creativamente

Se nos plantea este siguiente dilema ético-moral, que incluso ha sido formulado en varias entrevista de trabajo.

“Conducimos nuestro coche durante una noche bajo una espantosa tormenta. Pasamos por una parada de autobús en la que se encuentran tres personas esperando:

1. Una mujer anciana que parece a punto de morir.

2. Un buen y viejo amigo que nos salvó la vida hace tiempo.

3. El hombre perfecto o la mujer de nuestros sueños (elegir una de las dos opciones).

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¿A cuál llevaríamos en el coche, teniendo en cuenta que sólo tenemos sitio para un pasajero?

Podríamos llevar a la anciana, ya que su estado es grave y puede morir, así que quizás sería la que más necesitaría ayuda. O bien podríamos llevar a nuestro buen amigo, ya que nos salvó la vida una vez y estamos en deuda con él. No obstante, tal vez nunca volvamos a encontrar a la persona perfecta capaz de cumplir todos nuestros sueños.”

¿De qué forma se puede pensar creativamente para llegar a una solución satisfactoria?





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Simplemente contestó: “Le daría las llaves del coche a mi amigo, y le pediría que llevara a la anciana al hospital, mientras yo me quedaría esperando el autobús con la mujer de mis sueños.”

Moraleja: Debemos superar las aparentes limitaciones que nos plantean los problemas, y aprender a pensar creativamente.

¿Qué es el diagrama de Venn?





Esencialmente, se conoce al diagrama de Venn como una forma de mostrar de manera gráfica, una agrupación de elementos según los conjuntos, siendo representado cada conjunto con una circunferencia. Esta clase de gráficos se emplean en la Teoría de Conjuntos, dentro de las matemáticas modernas y nos explica el funcionamiento de un conjunto de elementos al realizar alguna operación con ellos.

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La posición en que estén dispuestas las circunferencias, nos mostrará el vínculo que existe entre los conjuntos.

En la imagen de abajo, vemos cómo los círculos del grupo A y el B se encuentran solapados, poseyendo un área en común que comparten ambos grupos y en la que se encuentran todos los elementos del conjunto A y B.

Matemáticas, lógica, acertijos.http://www.blogodisea.com/wp-content/uploads/2011/02/Diagramas-de-Venn.gif

En la imagen de abajo, el círculo del grupo A se haya dentro del círculo B, de manera que todos los componentes de B también se encuentran contenidos en A.

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El nombre de estos diagramas fue designado en honor a su autor, John Venn, que era un matemático y filósofo británico. John expuso por primera vez este diagrama en 1880, apareciendo en el artículo “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” e inspirándose inicialmente en el cálculo de clases deBoole.

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John Venn (1834 – 1923)





El despiste de Paul Halmos





En una serie de reuniones de matemáticos estadounidenses, se aprovechaban los almuerzos para relacionarse y conocerse. El primer día, Paul Halmos se acercó con dicho fin a un joven matemático y le dijo:

– “Soy Halmos. ¿Y usted?”.

– “Smith, mucho gusto en conocerle”.

Paul poseía la particularidad de ser despistado como pocos, así que el segundo día volvió a presentarse de nuevo:

– “Soy Halmos. ¿Y usted?”.

– “Smith, mucho gusto en conocerle”, le volvió a responder el chico amablemente.

Pero el tercer día, y viendo que Halmos vendría de nuevo con su cantinela, el chico contraatacó primero:

– “Usted es Halmos. ¿Y yo?”.

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Paul Halmos (1916-2006) fue un matemático húngaro que desarrolló grandes avances en los campos de la teoría de la probabilidadestadísticas, operadores, análisis funcionales (en particular, de los espacios Hilbert) y las matemáticas lógicas. También fue reconocido y alabado como un gran orador del terreno matemático.





Juego de cerillas: Dejar 3 cuadrados





En esta imagen vemos 6 cuadrados formados por unas cerillas. ¿Cómo podríamos dejar 3 cuadrados con solo quitar 5 cerillas?

SOLUCIÓN en los COMENTARIOS

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Curiosidad del número de 6174 y la operación de Kaprekar





Mysterious number 6174 es un interesante artículo de Yutaka Nishiyama que explica la extrañísima propiedad del número 6174. Aunque nos parezca un número cualquiera, atesora un gran misterio por resolver, que en realidad se puede explicar fácilmente. En el artículo original se dan más detalles, y aparece un bonito puzzle matemático al final:

La operación de Kaprekar

Esta operación matemática llamada Operación de Kaprekar, es muy singular. Consiste tan sólo en reordenar los dígitos de un número de tal forma que se pueda obtener el mayor y el menor número posible, restando así el menor del mayor.

Esta operación se puede realizar con números de cualquier tamaño, y se puede repetir sistemáticamente una y otra vez. Resulta curioso lo que ocurre exactamente con cuatro cifras, siempre que no sean todas iguales. Un ejemplo: si lo hacemos con el año en que nos encontramos, el 2009.

9002 – 2009 = 6993

9963 – 3699 =  6264

6642 – 2466 = 4176

7641 – 1467 = 6174

7641 – 1467 = 6174

Y aquí entramos en un bucle continuo. Al llegar al 6174, el resultado se repite constantemente. (Si cuando hacemos la operación, aparecen números de menos de cuatro dígitos, nos bastará  rellenar con ceros a la izquierda.)

Lo curioso del asunto, es que sin tener en cuenta el número por el que empezamos, mientras tenga cuatro dígitos y no sean todos iguales, llegaremos siempre al número 6174. Se puede averiguar porqué ocurre esto, si examinamos cómo se comporta cada dígito mientras realizamos las operaciones, o probando con los 8991 números de esta clase que existen entre el número 1000 y el 9998. Siempre se alcanza el número 6174 antes de que demos un máximo de siete pasos, aunque normalmente llegamos con tres pasos. Los que sepan de programación, pueden utilizar el código del Generador de Series de Kaprekar para aseverar estas secuencias.

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¿Es el 6174 el único número con esta propiedad?

No, pero si investigamos qué ocurre con otros números de distinta longitud, nos aporta más dilemas que acalaraciones.

– Si probamos con los números de dos dígitos, no se llega nunca a un número fijo, sino que entramos en un bucle cíclico del tipo 09, 81, 63, 27, 45, 09.

– Con tres dígitos, alcanzamos el 495.

– Para cuatro dígitos el número es el susodicho y misterioso 6174.

– Con cinco dígitos, no existe número fijo, sino tres ciclos (encima de distinta longitud).

– Para seis dígitos, podemos llegar al 549945, al 631764 o a un ciclo de siete números.

– Con siete dígitos, tampoco existe un número fijo, sino un único ciclo de nueve números.

– Para ocho y nueve, hay otro par de números en cada caso respectivamente.

– Con diez dígitos, podemos llegar a tres valores distintos: 6333176664, 9753086421 y 9975084201, o vernos dentro de cinco ciclos cortos.

– Alguien construyó un programa de ordenador para calcular hasta quince dígitos, con los que se pudo llegar a ocho resultados: dos números fijos o seis ciclos cortos.

Por ahora, ningún matemático tiene claro porqué sucede  esto y porqué con tres y cuatro dígitos, llegamos a un único número, mientras que con otro número de dígitos distinto, no se llega a ninguno, sino a diferentes ciclos, o incluso para complicar la cosa, a veces se llega a varios números posibles y también a ciclos.

¿Existe algún número con más dígitos que al final llegue a un sólo número parecido al 6174? Pues esto se desconoce, sería uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, o bien podría ser una coincidencia simplemente circunstancial.

Para honrar a su descubridor, el número 6174 se conoce también como Constante de Kaprekar.

¿Qué es la sucesión de Fibonacci?





Leonardo Fibonacci nació en Pisa, Italia, en 1170, hijo de Bonacci (en italiano, figlio de Bonacci, o Fibonacci, nombre con el que se quedó).

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Creció y fue educado en Bugia, norte de África (hoy llamada Bejaia, en Argelia), desde donde regresó a Pisa alrededor del año 1200. Fibonacci fue sin duda influido y posiblemente enseñado por matemáticos árabes durante este su periodo más formativo. Escribió muchos textos matemáticos e hizo algunos descubrimientos matemáticos significativos, lo que ayudó a que sus trabajos fueran muy populares en Italia y a que le prestara atención el Sacro Emperador Romano del momento Federico II. quien lo invito a su corte de Pisa. Fibonacci murió en 1250.

La secuencia de Fibonacci fue obtenida por primera vez en 1202, al tratar la cuestión del crecimiento de una población de conejos. Se hizo la pregunta de cuántas parejas de conejos habrá después de cierto número de temporadas de crianza, esto es, cómo se multiplican los conejos. Para simplificar supuso lo siguiente:

1) Se empieza con una pareja inmadura.

2) Los conejos maduran una temporada después de haber nacido.

3) Las parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada temporada de crianza.

4) Los conejos nunca mueren.

De acuerdo con estas reglas, el número de conejos en una generación es igual a la suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones anteriores. Si se empieza con una pareja, después de una temporada se produce una nueva pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 parejas de conejos. Si se sigue de esta manera se encuentran los siguientes números de parejas en las sucesivas temporadas, que es precisamente la secuencia de Fibonacci.

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Simplificado, se empieza con 0 y 1, el siguiente número de la secuencia es la suma de los dos anteriores, y así sucesivamente.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169…

La función se expresaría así:

F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, …

Algunas particularidades en esta secuencia son:

– Un término de cada tres es un número par: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

– Uno de cada cinco es múltiplo de 5: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610

– Cualquier número natural se puede expresar mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, y cada uno de ellos es distinto a los demás. Ejemplos: 18= 13+3+2 50= 13+34+3

– Si cogemos los números de la secuencia de dos en dos, y los dividimos entre sí, obtenemos con la progresión un acercamiento al cociente 0.618, el cual recibe el nombre de media dorada.

1/1=1 1/2=0.5 2/3=0.666 3/5=0.6 5/8=0.625 8/13=0.615 13/21=0.619 21/34=0.617

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– En la naturaleza hay varios ejemplos de esta sucesión:

La cantidad de pétalos de una flor

La flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiuna espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci.

La parte externa de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci.

En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.

La manera de reproducirse las liebres (la cantidad descendientes que tienen y cómo se “multiplican”).

Matemáticas, lógica, acertijos.Estatua de Fibonacci

La suma de Gauss





Matemáticas, lógica, acertijos.
Uno de los grandes genios de la física, Carl Friedrich Gauss, contaba en 1787 con diez años de edad. Por aquel entonces, iba a la escuela.

Un día en el que todos los alumnos se tiraban tizas los unos a los otros, apareció el profesor de repente. Muy enfadado, ordenó a todos los niños que, como castigo, le sumaran todos los números de 1 al 100.

No tardó el muchacho en entregar la respuesta correcta en su pequeña pizarra: 5050. Lo había hecho sin llegar a sumar, utilizando simplemente su lógica, percatándose de un aspecto interesante de aquella sucesión y efectuando una sola operación (en vez de noventa y nueve sumas).

¿Cómo lo hizo el pequeño Gauss para obtener tan rápido la solución?

Se dice que los matemáticos no calculan, sino que piensan.

Gauss tenía que sumar la siguiente serie:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

No obstante, se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas:

(1 + 100) = 101

(2 + 99) = 101

(3 + 98) = 101



(49 + 52) = 101

(50 + 51) = 101

Así, todas las sumas de simétricos daban 101. Habiendo 50 posibles pares, el resultado era de 50 x 101, o sea, 5050.

Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la fórmula de la suma de la serie geométrica, entre otras cosas.

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Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nacido en una modesta cabaña de Alemania e hijo de padres muy pobres, dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos con mucha habilidad. Sus contribuciones a la física y a otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria.

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La lógica paradoja de Isabel





Siguiendo con el tema de los Amantes de Teruel (recordad, tonta ella y tonto él), una historieta de lógica paradójica a cargo de la tonta de Isabel.

“Los amantes de Teruel notaban que la rutina iba filtrándose en su amor. Diego, preocupado de que ese cáncer silencioso acabara con el romance que llenaba sus vidas, decide sorprender a Isabel.

– Amor mío -le dice-, a partir de ahora dejaré de acudir a tu alcoba siempre el mismo día; lo haré cuando menos te lo esperes, de modo que la ansiedad de tu incertidumbre multiplique la emoción de nuestros encuentros.

– Pero Diego -objeta Isabel-, habrás siempre de venir a las 3 de la tarde, que sabes que es la hora en que mi celoso padre disfruta de su siesta.

– Verdad dices, tesoro, pero no sabrás en cuál día de la semana apareceré.

– Nunca podrá ser ni sábado ni domingo, mi bienintencionado galán, porque los fines de semana vuelve a casa mi hermano, más celoso aun que mi padre.

– De acuerdo palomita -admite él, un poco a regañadientes-, pero te mantendré intrigada durante los cinco días laborables.

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– ¿Vendrás acaso sólo un día? -pregunta Isabel.

– Así es, ángel mío, para que la larga ausencia avive nuestra hoguera.

– Entonces, cariño, no podrás sorprenderme -contesta la bella. Repara en que ese día no podrá ser el viernes, porque si no has venido antes, ya no podrías sorprenderme. Pero tampoco vale que vengas el jueves ya que, no habiendo venido antes, yo sabré que has de venir pues el viernes tú sabes que no puedes sorprenderme. Y claro, vida mía, por idéntica inducción no puedes sorprenderme el miércoles, pues estaría segura de tu llegada al saber que tú sabes que no puedes sorprenderme en los dos días siguientes. E imagino que no hace falta que te explique que no cabe la sorpresa el martes, porque …

– No, no hace falta -interrumpe amoscado el joven-. ¡Vive Dios que no sé qué os enseñan hoy en día a las muchachas de buena familia!

Una nube negra oscureció por vez primera la plácida atmósfera del amor mutuo. Y Diego no fue a visitarla ningún día porque, sin entenderlo del todo, se convenció de que no podría sorprenderla. Así que aceptó el reto del noble padre de su enamorada y, para poder desposarla, marchó de Teruel a obtener fortuna. Lo logró pero cuando volvió ya era tarde.

E Isabel, por paradójica, se casó con quien no debía.”

Y colorín colorado, esta lógica paradójica se ha terminado.

Tu edad con matemáticas chocolateras





Sigue los pasos de este juego chocolatero…

1. ¿Cuantas veces por semana te apetece comer chocolate? (debe ser un número entre más de 0 veces y menos de 10 veces)

2. Multiplica este número por 2 (para que sea par)

3. Suma 5

4. Multiplica el resultado por 50 (Voy a esperar a que pongas en marcha la calculadora)

5. Si ya has cumplido años en el 2009 suma 1759. Si aun no has tenido tu cumple este año, suma 1758.

6. Ahora resta el año en que naciste (número de cuatro dígitos).

El resultado es un número de tres dígitos. El primer dígito es el número de veces que te apetece comer chocolate por semana.

Los dos números siguientes son… ¡TU EDAD!

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Adivina la pregunta 378: Lógica y matemáticas – Tres números





Usando los dígitos del 1 al 9 (sin repetir ninguno de ellos), debemos hallar tres números compuestos por tres dígitos cada uno, que cumplan la condición de que el segundo número sea el doble del primer número, y el tercer número sea el triple del primer número. Existen varias soluciones posibles.

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Adivinando el dígito tachado





Una persona piensa un número de varios dígitos, por ejemplo el 734, y sin que nos lo revele, le proponemos que sume sus dígitos (7 + 3 + 4 = 14). Ahora le pedimos que reste esa suma al número original (734-14=720).

Luego le pedimos a nuestro interlocutor que tache cualquier dígito del resultado obtenido, el que prefiera, y que nos proporcione los restantes dígitos.

¿Cómo podemos adivinar el dígito que tachó?

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SOLUCIÓN:

Para adivinar el dígito tachado es bien simple. Se busca un dígito que sumado a los que nos digan, forme el número más próximo divisible por 9.

Por ejemplo, en el número 720 ha sido tachada la primera cifra (7) y nos comunican las cifras 2 y 0. Nosotros sumamos 2 + 0 = 2 y calculamos que hasta el número más próximo divisible por 9 (puede ser 9 ó 18), faltan 7. Este sería el dígito tachado.

Este divertido juego de “adivinación” funciona porque si a cualquier número le restamos la suma de sus dígitos, debe quedar una cifra divisible por 9. Si la suma de los dígitos que nos dicen es divisible entre nueve (por ejemplo 4 + 5), entonces la cifra tachada es un cero o un nueve.

Matemáticos en la Torre Eiffel





La Torre Eiffel es el monumento y símbolo parisino por excelencia, edificada por el ingeniero Gustave Eiffel con ocasión de la Exposición Universal de 1889, en el Centenario de la Revolución Francesa. Todos los turistas la visitamos, subimos a ella y la fotografiamos con profusión. Pero hay un detalle que seguramente nos habrá pasado inadvertido.

Si disponemos de un potente zoom y orientamos nuestro objetivo hacia el zócalo del primer piso, descubriremos una sucesión de nombres de científicos franceses del s. XIX que bordean las cuatro caras: 72 en total y, entre ellos, 21 matemáticos. De éstos destacamos, por ser los más renombrados, a: Lagrange, Laplace, Legendre, Cauchy, Monge y Fourier.

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Adivina la pregunta 419: Lógica y matemáticas





Los objetos en esta línea tienen algo en común: Matemáticas, lógica, acertijos.
Uno de los siguientes símbolos es el que seguiría en la sucesión. ¿Cuál de ellos será?

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Adivina la pregunta 158: Lógica y matemáticas – Posibilidades en el ajedrez





De acuerdo con los expertos, los primeros cuatro movimientos del ajedrez pueden ser jugados en 197.299 maneras diferentes. Si se tarda 30 segundos en hacer un movimiento, ¿cuánto tardará un jugador en probar todas estas combinaciones de los 4 primeros movimientos?

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Los círculos escolares del instituto Furinkan





En el instituto Furinkan funcionan cinco círculos: de música, de origami, de judo, de ikebana y de ajedrez.

El de música funciona un día sí y otro no, el de judo una vez cada tres días, el de ikebana una cada cuatro, el de ajedrez una cada cinco y el de origami una cada seis.

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El primero de Enero se reunieron en la escuela todos los círculos, y luego siguieron haciéndolo en los días designados, sin perder ni uno.

La profesora Hinako propone a sus alumnos una adivinanza. Se trata de adivinar cuántas tardes más, en el primer trimestre, se reunieron los cinco círculos a la vez.

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– ¿El año es corriente o bisiesto? -preguntó Ranma a la profesora.

– Corriente -contestó esta.

– Es decir, que el primer trimestre, Enero, Febrero y Marzo, ¿suman 90 días? -preguntó Akane.

– Claro que sí- contestó Hinako -. Y para ponerlo más difícil, otra pregunta. ¿Cuantas tardes de este mismo trimestre no se celebrará en el instituto ninguna reunión de círculos?

Los alumnos se quedaron pensativos…

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Las cifras que suman igual





¿Cómo podríamos poner las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en estos círculos del cuadrado de forma que todas las líneas sumen igual en todas las direcciones (horizontal, vertical, diagonal)?

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Suma de los lados del árbol de Navidad





Para solucionar este problema debemos escribir los dígitos del 1 al 9 (sin repetir), de manera que en cada uno de los tres lados del árbol de Navidad, las cifras sumen la misma cantidad. Para escribir la solución en el comentario, debemos seguir el orden de las agujas del reloj, empezando por la estrella.

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La sombra del dirigible





¿Qué es más largo, el dirigible o la sombra completa que proyecta sobre la Tierra?

Uno podría decir que la sombra, ya que los rayos del Sol se difunden en forma de abanico. No hay más que ver cómo los rayos del Sol se despliegan al verse a través de una nube.

Matemáticas, lógica, acertijos.
¿Y si fuera más pequeña?

Otra posibilidad sería que los rayos fueran paralelos; la sombra y el dirigible tendrían la misma longitud.

Matemáticas, lógica, acertijos.
Así que la pregunta sería, ¿es menor, mayor o igual?

La trampa del hotel





Tres hombres de negocios tuvieron que pasar una noche en un hotel. El recepcionista les comunicó que sólo le quedaba una habitación libre, pero podían ocuparla por 30 euros la noche. Cada hombre le dio 10 euros al recepcionista y los tres subieron a acomodarse en la habitación.

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Más tarde, el recepcionista se dio cuenta que había cometido un error y había cobrado demasiado a los hombres por la habitación. Así que llamó al botones y dándole cinco monedas de un euro le dijo: “Sube arriba y entrega estos cinco euros a los hombres que se acaban de instalar. Diles que me equivoqué y les cobré de más por la habitación”

Mientras el botones subía, este se dio cuenta que no podría dividir los cinco euros entre los tres hombres de manera ecuánime, por lo que se guardó dos monedas en el bolsillo y sólo entregó tres euros a los hombres, un euro a cada uno.

Esto quiere decir que cada hombre pagó 9 euros por la habitación y el botones se guardó 2 euros. Tres veces nueve son 27, más 2 euros del botones, son 29 euros. La pregunta es… ¿qué ocurrió con ese euro extra?

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La cadena de eslabones





Disponemos de cinco cadenas pequeñas que constan de tres eslabones cada una, pero queremos unirlas para realizar una sola cadena. Cuando las llevamos al joyero, nos dice que cobra 1 euro por abrir un eslabón y 3 euros por volverlo a cerrar.

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Cuando echamos mano, en el bolsillo tenemos sólo 15 euros. ¿Es posible unir todas las cadenas en una sola con ese dinero? Y si es así… ¿cómo?

La cadena tendrá que quedar al final así:

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El vuelo del dirigible





En una reunión, se plantea este problema:

– Imaginemos que despegó de San Petersburgo un dirigible rumbo al norte. Una vez recorridos 500 km. en esa dirección, cambió de rumbo y puso proa al este. Después de volar en esa dirección 500 km., hizo un viraje de 90º y recorrió en dirección sur 500 km. Luego viró hacia el oeste, y después de cubrir una distancia de 500 km., aterrizó.

Si tomamos como punto de referencia San Petersburgo, se pregunta cuál será la situación del lugar de aterrizaje del dirigible: al oeste, al este, al norte o al sur de esta ciudad.

– Este es un problema para gente ingenua – dijo uno de los presentes -. Siguiendo 500 pasos hacia delante, 500 a la derecha, 500 hacia atrás y 500 hacia la izquierda, ¿adonde vamos a parar? Llegamos naturalmente al mismo lugar de donde habíamos partido.

– ¿Dónde le parece, pues, que aterrizó el dirigible?

– En el mismo aeródromo de San Petersburgo, de donde había despegado. ¿No es así?

– Claro que no.

– ¡Entonces no comprendo nada!

– Aquí hay gato encerrado – intervino en la conversación el vecino -. ¿Acaso el dirigible no aterrizó en San Petersburgo…? ¿Puede repetir el problema?

El aviador accedió de buena gana. Le escucharon con atención, mirándose perplejos, ya que nadie acertó la solución.

¿Dónde aterrizó el dirigible finalmente?





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La leyenda del tablero de ajedrez (progresión aritmética)





El ajedrez es un juego antiquísimo. Lleva muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañar que se hayan inventado sobre él, variopintas leyendas de cuestionable veracidad, las cuales son difíciles de demostrar debido a su antigüedad.

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Hoy os voy a narrar una de estas fábulas que conozco desde pequeño y siempre me fascinó. Para entenderla no es preciso saber jugar al ajedrez. Sólo se necesita saber que el tablero donde se desafía al oponente está dividido en 64 casillas negras y blancas, colocadas de manera alternativa.

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram se enteró de este divertimento estratégico, se maravilló de lo ingenioso y de la variedad de combinaciones que en él eran posibles. Al hacerse eco que el inventor era uno de sus siervos, el rey requirió su presencia con objeto de remunerarle personalmente por su buen invento.

El autor del invento, que se hacía llamar Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio que vestía con modestia y que vivía gracias a los medios que le suministraban sus discípulos.

– Seta, quiero compensarte generosamente por el ingenioso juego que ideaste –le dijo el rey.

El erudito contestó con una reverencia.

– Soy lo bastante poderoso y acaudalado como para poder concederte tu deseo más ansiado –continuó explicando el rey–. Declárame una recompensa que te satisfaga y será tuya.

El sabio se mantuvo callado.

– No seas tímido –le animó el rey-. Cuéntanos tu anhelo. No escatimaré en gastos para complacerlo.

– Grande es su beneplácito, gran soberano. Pero concédame un corto plazo de tiempo para pensar la respuesta. Mañana, tras una profunda meditación, le transmitiré mi petición.

A la mañana siguiente Seta compareció de nuevo ante el monarca y lo dejó maravillado con su petición, sin precedente alguno por su humildad.

– Oh gran soberano –dijo Seta–, ordene que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez que yo inventé.

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– ¿Un sólo grano de trigo? –inquirió con sorpresa el rey.

– Sí, mi señor. Por la segunda casilla, pida que me sean entregados dos granos de trigo; por la tercera casilla, cuatro granos; por la cuarta casilla, ocho; por la quinta casilla, dieciséis; por la sexta casilla, treinta y dos…

– ¡Basta! –le interrumpió el rey enfadado–. Se te entregará el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero, tal y como es tu deseo; por cada nueva casilla, doble cantidad de trigo que por la precedente. Pero debes conocer que tu petición es indigna de mi benevolencia. Al pedirme tan ínfimo pago, menosprecias de manera irreverente mi recompensa. Y como erudito que eres, podrías haber dado mayor prueba de respeto ante la magnificencia de tu rey. Ya puedes retirarte. Mis sirvientes te entregarán el saco con el trigo que necesites.

Seta esbozó una sonrisa, y tras abandonar la sala, se quedó esperando en la puerta exterior del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del creador del ajedrez y envió a alguien para que se informara de si se había entregado ya al meditabundo Seta su mezquina recompensa.

– Majestad, su orden se está cumpliendo –fue la respuesta–. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos de trigo que deben ser entregados.

El monarca frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus decretos.

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Por la noche, al retirarse a descansar a sus aposentos, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que el sabio Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

– Majestad –le respondieron–, sus matemáticos siguen trabajando sin descanso y esperan finalizar los cálculos al amanecer.

– ¿Por qué va tan lenta esta operación? –gritó iracundo el monarca–. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces un mismo mandato.

Por la mañana fue comunicado al gobernante que el matemático mayor de la corte instaba audiencia para comunicarle un informe muy importante.

El soberano ordenó que le hicieran pasar.

– Antes de empezar tu informe –le dijo Sheram–, quiero conocer si se ha entregado por fin a Seta la pobre recompensa que solicitó.

– Precisamente por ese asunto he osado presentarme tan temprano –respondió el anciano–. Hemos calculado concienzudamente la cantidad total de granos que desea recibir el sabio Seta. El resultado es una cifra descomunal…

– Sea cual fuere su proporción –le interrumpió con desdén el gobernante– mis graneros y despensas no empobrecerán. He prometido darle esa remuneración y, por lo tanto hay que entregársela.

– Majestad, no depende de su intención el cumplir semejante deseo. En todos sus graneros no existe la cantidad de trigo que pidió Seta. Tampoco existe en todas las despensas de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si desea proporcionar sin falta la recompensa que prometió, ordene que todos los reinos de la Tierra sean convertidos en labrantíos, mande desecar los mares y océanos, ordene fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del norte. Que todo ese espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordene que toda la cosecha conseguida en estos campos sea entregada a Seta. Solamente de esta manera el sabio entonces recibirá su recompensa.

El monarca escuchó perplejo las palabras del anciano matemático.

– Dime, ¿cuál es esa colosal cifra? –expresó el rey dudando.

– ¡Oh, majestad! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.

Matemáticas, lógica, acertijos.
Sobre la progresión aritmética

Si se empieza por la unidad, se deben sumar estas cifras: 1, 2, 4, 8, 16, etc. El resultado que se obtiene después de 63 duplicaciones sucesivas nos revelará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el sabio Seta. Podemos calcular fácilmente la suma total de granos de trigo, si duplicamos el último número, conseguido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se resume de manera simple a multiplicar 64 veces seguidas la cifra 2:

2 x 2 x 2 x 2 x 2, y así progresivamente hasta que lleguemos a 64 veces.

Con el fin de facilitar el cálculo, se pueden dividir estos 64 factores en 6 grupos de 10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicación sucesiva de 10 factores 2 es igual a 1.024 y la de 4 factores 2 es de 16. De esta manera, el resultado buscado es equivalente a:

1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 16

Si multiplicamos 1.024 x 1.024 obtendremos 1.048.576

Ahora nos queda por calcular:

1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16

Si restamos del producto obtenido una unidad, calcularemos el número de granos de trigo buscado: 18.446.744.073.709.551.615

Para hacernos una idea de lo colosal de esta cifra, debemos calcular de manera aproximada la magnitud que debería poseer el granero capaz de almacenar semejante cantidad de cereal. Primero debemos conocer que un metro cúbico de trigo posee cerca de 15 millones de granos. Teniendo este dato en cuenta, la recompensa del creador del ajedrez ocuparía un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es igual, 12.000 km3. Si el granero tuviera cuatro metros de alto y 10 metros de ancho, su longitud sería de 300.000.000 km, o sea, la distancia que existe de la Tierra al Sol dos veces.

Matemáticas, lógica, acertijos.
El rey hindú Sheram, lógicamente no podía proporcionar semejante recompensa. No obstante, de haber estado fuerte en matemáticas, hubiera podido librarse de esta deuda tan costosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que había pedido.

Si el erudito Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando a un ritmo de un grano por segundo, en el primer día habría contado 86.400 granos de trigo. Para contar un millón de granos se necesitaría, como mínimo, diez días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de cinco cuartos. Haciendo esto sin interrupción durante diez años, habría contado cien cuartos como máximo.

De esta manera, aunque Seta hubiera dedicado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte mínima de la recompensa que exigió.

Matemáticas, lógica, acertijos.

Vendiendo naranjas





En el pueblo de Villanaranjos, un padre mandó a sus tres hijos a vender naranjas. Al mayor le encargó vender 50 naranjas, al mediano 30 y al pequeño 10.

Eso sí, les pidió que regresaran por la tarde, y que los tres aportaran el mismo dinero cada uno de sus ventas, pero debían venderlas en todo momento al mismo precio que sus hermanos.

– ¡Pero eso es imposible!- exclamó el hijo mediano- llevamos diferentes cantidades de naranjas, así que el que venda más naranjas, traerá más dinero.

– Es verdad padre- inquirió el hijo mayor- usando la lógica, yo soy quien lleva más naranjas, y si las tengo que vender en todo momento al precio que la vendan mis hermanos, conseguiré más dinero.

– ¡Menos hablar e id al mercado!- les gritó su padre sin importarle lo que estaban diciéndole sus hijos.

Los chicos se fueron cabizbajos al mercado, pensando en cómo podrían solucionar este problema. De repente, al hermano pequeño se le ocurrió una idea:

– ¡Ya lo tengo!- exclamó- tengo la fórmula para vender las naranjas al mismo precio que vosotros y conseguir al final el mismo dinero.

Al finalizar el dia, los chicos volvieron habiendo vendido todas las naranjas y trayendo cada uno 10 euros. Eso sí, en todo momento entre ellos las vendieron al mismo precio. Ningún hermano las cobraba más caro que sus otros hermanos.

¿Cómo es posible esto?

Matemáticas, lógica, acertijos.
PISTA 1:

– Los hermanos no tienen necesariamente que vender siempre unidades de naranja, sino que pueden vender grupos o packs de varias naranjas. Eso sí, respetando siempre que esos packs sean vendidos al mismo precio.

– La solución está en realizar dos etapas de venta. En una, venderán packs. En la otra, venderán unidades de naranja.

PISTA 2:

– En cada fase de venta, los chicos venderán a precio diferente las naranjas. Eso sí, al público. Ellos siempre la venderán al mismo precio entre ellos.

PISTA 3:

Os doy el cálculo de la primera fase del problema para que sea más fácil terminarlo.

Hermano mayor tiene que vender 50 naranjas.

Hermano medio tiene que vender 30 naranjas.

Hermano peque tiene que vender 10 naranjas.

Ahora se ponen a vender packs de 7 naranjas a 1 euro.

Hermano mayor vende 7 grupos de 7 naranjas a 1 euro = 7 euros y le sobra 1 naranja (gastó 49 naranjas de las 50 iniciales)

Hermano medio vende 4 grupos de 7 naranjas a 1 euro = 4 euros y le sobran 2 naranjas (gastó 28 naranjas de las 30 iniciales)

Hermano peque vende 1 grupo de 7 naranjas a 1 euro = 1 euro y le sobran 3 naranjas (gastó 7 de las 10 iniciales)

Por lo tanto, de momento los hermanos llevan ganado:

Hermano mayor ha ganado 7 euros y le queda por vender 1 naranja suelta.

Hermano medio ha ganado 4 euros y le quedan por vender 2 naranjas sueltas.

Hermano peque ha ganado 1 euro y le quedan por vender 3 naranjas sueltas.

En la segunda fase de venta, cambiamos lo de vender packs de naranjas, por unidades, así terminamos de vender las naranjas que les quedaron sueltas. Y también variamos el precio de venta. Ahora todos los hermanos venden la unidad de naranja a X euros.

Si todos los hermanos tienen que ganar 10 euros, ¿a cuánto tienen que vender esas naranjas sueltas?

Más fácil imposible.

Comilona con tensión





En estas fiestas navideñas, estos 6 hermanos se han tenido que sentar juntos en una mesa para celebrar la Navidad, pero se llevan como el perro y el gato. Para que algunos no se peleen en esta Nochebuena, debes disponerlos en la mesa para que pasen la velada en paz. Las normas para que conozcas qué hermanos odian a los otros son:

– Cada uno de ellos odia al hermano mayor que el él y el menor también. Por ejemplo, el hermano 4 odia al hermano 3 y 5.

– Los hermanos 3 y 5 tampoco se aguantan debido a una pelea que tuvieron el año pasado.

¿Cómo dispondrías a los hermanos sentados en una mesa redonda para que no tuviesen cada uno al lado a los hermanos con los que se llevan mal? Para dar la solución, lista el número de hermano y la letra de la silla donde debe estar.

Matemáticas, lógica, acertijos.

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http://www.taringa.net/posts/deportes/18975324/Quien-es-el-mas-grande-de-Argentina-Opinen.html

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Si les gusta el Contra pasen por este post:[/size]

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Conoce a la nueva novia de Homero Simpson :

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