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Matemáticas: función continua, monotonía y extremos

1. Continuidad

Decimos que una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un sólo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio y las racionales lo son en los puntos donde no se anulan los denominadores. Por ejemplo:

Matemáticas: función continua, monotonía y extremos

es la gráfica de la función racional:

Matemáticas: función continua, monotonía y extremos

Podemos observar que es continua en todo el dominio excepto en x = 2, que es el punto donde el denominador se anula (no podemos dividir por 0).

Podemos ver más ejemplos en este enlace.

2. Monotonía

El concepto de monotonía también es muy intuitivo: la gráfica de la función puede crecer o decrecer a medida que aumenta la variable x (de izquierda a derecha). La definición formal es

La función f(x) es monótona creciente si a < b, entonces f(a) < f(b). Es decir, es creciente si dados dos puntos cualesquiera (a < b), la imagen del punto mayor es mayor que la imagen del otro (f(a)) .

Análogamente, decimos que la función es monótona decreciente si a < b, entonces f(a)>f(b). Es decir, la imagen de un punto es mayor cuanto más pequeño sea el punto.

Matemáticas: función continua, monotonía y extremos

Esta es la gráfica de la función

Matemáticas: función continua, monotonía y extremos

que es decreciente desde menos infinito hasta x = 2,5. A partir de este punto es creciente.

Notemos que el punto donde cambia la monotonía es un extremo (es un mínimo).

Para el estudio de la monotonía usamos el criterio de la primera derivada (cálculo diferencial), aunque no es el único método que existe. Para ello buscamos los puntos críticos (que son los puntos en los que se anula la primera derivada de la función). Después, estudiamos el signo de un punto cualquiera de cada intervalo en que los puntos críticos dividen el dominio:

  • Si el signo es positivo: la función crece en el intervalo al que pertenece el punto.
  • Si el signo es negativo: la función decrece.

Podemos ver en este enlace ejemplos de aplicación del criterio de la primera derivada.

Y finalmente, vamos a ver el concepto de extremos:

3. Extremos absolutos y relativos

Si observamos la gráfica anterior, cuando existe un cambio de monotonía (la función pasa de ser creciente a ser decreciente o viceversa), entonces dicho punto se denomina extremo. Este extremo puede ser un mínimo o un máximo si la función pasa a ser creciente o decreciente a su derecha, respectivamente.

La siguiente gráfica

Matemáticas: función continua, monotonía y extremos

presenta un máximo y un mínimo (los puntos rojos).

Para calcular los extremos, usamos también el criterio de la primera derivada: los puntos donde se anula la derivada son los posibles extremos (puntos críticos). Para comprobar si en realidad se trata de un extremo, debemos estudiar la monotonía (si hay un cambio, hay un extremo).

Podemos ver aquí ejemplos de la aplicación del criterio de la primera derivada para obtener los extremos.

También existen otros métodos (el criterio de la segunda derivada, por ejemplo).

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