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Matematica Financiera: Interes Compuesto

1. Capitalización compuesta

1.1. CONCEPTO

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización compuesta.

1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN

El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C0) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n), pudiéndose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.

1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes.Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período.Gráficamente para una operación de tres períodos:

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

 

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i) 

Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) =

= C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2

Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) =

= C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3



Momento n:

Cn = C0 x (1 + i)n 

Expresión que permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la operación.

Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación no varía. En caso contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización compuesta) además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.

 

EJEMPLO 1

Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 €

Si se hubiese calculado en simple:

C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 €

La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.

 

1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL

Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + i)n

de donde se despeja C0:

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

EJEMPLO 2

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

C0 =
1.500

—————– 

(1 + 0,06)2
= 1.334,99 €

 

 

1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:

 

In = Cn – C0 

EJEMPLO 3

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?

300 I4?

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24 €

In = 393,24 – 300 = 93,24 €

 

 

1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS

Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + i)n

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:

 Cn

—- = (1 + i)n

 C0Quitar la potencia (extrayendo raíz n a los dos miembros):

Matematica Financiera: Interes CompuestoDespejar el tipo de interés: 

Matematica Financiera: Interes Compuesto 

EJEMPLO 4

 

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN

Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.

Punto de partida: 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
Pasar el C0 al primer miembro:

Matematica Financiera: Interes CompuestoExtraemos logaritmos a ambos miembros:

Matematica Financiera: Interes CompuestoAplicamos propiedades de los logaritmos:

Matematica Financiera: Interes Compuesto
Despejar la duración:

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EJEMPLO 5

Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

 

Matematica Financiera: Interes Compuesto
 

2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202

n =
log Cn – log C0

———————-

log (1 + i)
log 3.202 – log 2.000

= ——————————

log 1,04

= 12 años

 

1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA

Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 años, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al final de cada período en un caso y otro:

 

Años
1
2
3
4
5
6

En simple……….1.100,001.200,001.300,001.400,001.500,001.600,00En compuesta…1.100,001.210,001.331,001.464,101.610,511.771,56 

Donde se observa que el montante obtenido en régimen de simple va aumentando linealmente, cada año aumentan 100 euros (los intereses del año, generados siempre por el capital inicial de 1.000 euros). Por su parte, en la operación en compuesta, cada año se van generando más intereses que en el período anterior: la evolución no es lineal sino exponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada año mayor (los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes).

Gráficamente:

 

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Transcurrido un período (1 año si se considera tipos anuales) el montante coincide en ambos regímenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores.

De la misma forma, se cumple que para períodos inferiores al año el montante es mayor en régimen de simple y, a partir del año, es mayor en compuesta. Éste es el motivo de la preferencia de la capitalización simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.