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Las ecuaciones más bellas de la historia de las Ciencias

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En octubre del 2004, la revista Physics World publicó un artículo titulado The greatest equations ever (http://physicsworld.com/cws/article/print/20407), que comenta una encuesta hecha a 120 lectores en la que pedía que eligieran la mejor ecuación jamás hecha. Cada uno escogió su ecuación favorita basándose en su belleza, la profundidad de sus implicancias, su simplicidad o su pragmatismo. Con el fin de que aprendamos un poco de Física y Matemática, les doy a continuación la lista de las 19 mejores ecuaciones de todos los tiempos, sacada de esa encuesta, junto con un breve comentario de cada una de ellas:

1. Las ecuaciones de Maxwell

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Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.

“Y Dios dijo:” (las ecuaciones de Maxwell) “y se hizo la luz”, dice la imagen, que podrán ver en las remeras de algunos físicos si se pasean por el MIT o por Harvard. Y no es una exageración. Algunas soluciones de las ecuaciones de Maxwell nos dan la ecuación de una onda electromagnética que se desplaza justamente a la velocidad de la luz, y que tiene todas sus propiedades. Esa onda, dependiendo de su longitud, sale de nuestros celulares, cuando hacemos una llamada, y llega a nuestras radios y a nuestras antenas de DirectTV, choca contra nuestros cuerpos cuerpos en una tomografía de rayos X y contra nuestros ojos cuando vemos cualquier cosa.

Las cuatro ecuaciones de Maxwell, junto con la ley de fuerza de Lorentz, nos proveen una descripción completa del electromagnetismo clásico, y son la base teórica de gran parte de nuestra tecnología moderna.

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2. La identidad de Euler

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“¿Qué puede ser más místico que un número imaginarios interactuando con números trascendentales y reales para producir la nada?”, dirían los matemáticos si se les interroga sobre la belleza de esta ecuación. Algunos de los 25 votantes que eligieron esta ecuación la calificaron de “la expresión matemática más profunda jamás escrita”, “misteriosa y sublime”, “llena de belleza cósmica”, “una explosión cerebral”.

Hay un libro de 400 páginas, “Dr. Euler’s Fabulous Formula”, de Paul Nevin (2006), que sólo se dedica a la identidad de Euler, y que por lo que he podido ojear contiene hasta poemas sobre la fórmula. Gauss, el matemático más genial que ha existido (junto con Euler), fue tajante cuando dijo que aquél estudiante que no entendiese la fórmula apenas se la dijeran, no sería jamás un matemático de primera clase.

La fórmula indica que el número trascendental e, elevado a la potencia del producto del número trascendental pi por el número imaginario i, da igual a -1. En términos trigonométricos, ya no suena tan formidable, y quiere decir que el coseno de 180 grados es -1.

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3. La segunda ley de Newton

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Amada y detestada a la vez, la segunda ley de Newton aparece tercera en la lista. A partir de este lugar, todas las ecuaciones fueron elegidas con entre 2 y 10 votos. Es la base de carreras como Ingeniería Civil e Ingeniería Mecánica, pero no funciona cuando se trata de velocidades cercanas a las de la luz. Mientras que es algo casi obvio que un cuerpo se acelera en la dirección de la fuerza en nuestro mundo cotidiano, de velocidades lentísimas, esto no pasa a ser cierto cuando las cosas comienzan a desplazarse a velocidades cercanas a la de la luz, y los objetos no son necesariamente acelerados en la dirección de la fuerza. Esto sucede cuando usamos la “versión colegial” de la Ley de Newton, o versión moderna: F=ma, que asume masa constante. Sin embargo, si usamos la versión antigua, dada por el propio Newton, que dice que la fuerza es igual a la derivada respecto al tiempo del momento lineal, entonces no hay problema: la Ley de Newton, en esta forma, se cumple a cualquier velocidad. Aunque sea incorrecta, no se puede usar la versión en derivadas en el colegio, pues en casi la totalidad de los colegios peruanos no se enseña qué es un derivada.

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4. El Teorema de Pitágoras

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Conocido despectivamente también como “teorema del burro” (porque es tan sencillo que todo el mundo se lo puede aprender de memoria), el teorema de Pitágoras es antiquísimo (las más antiguas referencias se remontan al 2500 A.C., y pertencen a culturas del norte de Europa y a Egipto), y ha sido descubierto y redescubierto muchas veces a lo largo de la historia. El teorema de Pitágoras es válido en el espacio que los matemáticos designan como euclidiano, y que es el espacio donde naturalmente pensamos que vivimos hasta que leemos un poco de relatividad general y cosmología. Sin embargo, no es válido para espacios curvos como el de nuestro universo, y si contásemos con aparatos de medición infinitamente precisos, veríamos que imposible construir triángulos rectos que cumpliesen el teorema de Pitágoras en nuestro universo.

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5. La ecuación de Schrödinger

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La ecuación de Schrödinger ocupa el quinto puesto del ránking. Cuando hablamos de las ecuaciones de Maxwell no hicimos mención a qué eran los triangulitos invertidos con puntitos (operación divergencia), los triangulitos invertidos con equis (operación rotacional), ni todas esas letras como D (desplazamiento eléctrico), E (campo eléctrico), H (conocido como “H” solamente, aunque tiene que ver con el campo magnético), B (campo magnético), J (densidad de corriente), etc. Se necesita pasar por toda una iniciación para comprender esos símbolos, y eso sucede también con la ecuación de Schrödinger. H no significa lo mismo acá, por ejemplo. H es un operador lineal, y E también lo es. La letra que parece un tridente se llama función de onda. Pero ponerle nombres a todos estos símbolos no ayuda en nada, y sería lo mismo que les llamase “tijeras” o “Juan Pérez”.

Así que vayamos de frente a su utilidad: la ecuación nos permite conocer como evoluciona el estado cuántico de un sistema físico a lo largo del tiempo. Esto no ayuda mucho tampoco. Bien, entonces digámoslo así: nos permite conocer una serie de propiedades de las partículas. De más ayuda servirá esto: la ecuación de Schrödinger ocupa el mismo lugar central en la mecánica cuántica que ocupan las leyes de Newton en la mecánica clásica. Y además, la ecuación de Schrödinger, así como la de Newton, no es válida para velocidad cercanas a la de la luz. Para velocidades así, al igual que pasó con la ecuación de Newton, se necesita otra ecuación, mucho más general.

Algo más acerca esta ecuación: sólo se puede ser resolver de manera exacta para el átomo de hidrógeno y otros sistemas simples. Y por último: es tan importante para nuestra economía, que Leon Lederman, Premio Nobel de Física, se atrevió a decir que el 25% del PBI de las naciones industrializadas lo constituyen empresas derivadas de la mecánica cuántica.

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6. La equivalencia masa-energía

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La más famosa fórmula de la Física nos permite sacar conclusiones como “la energía contenida en un billete de un dólar (que pesa aproximadamente un gramo) equivale a la energía consumida por toda la humanidad durante 1 minuto”. Einstein propuso, con esta fórmula, que la masa y la energía son esencia lo mismo.

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7. La fórmula de la entropía de Boltzman

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La ecuación de Boltzman relaciona la entropía S con el número W de formas en que los átomos o moléculas de un sistema termodinámico pueden ser arreglados.

¿Qué es la entropía? Hay una interpretación microscópica y una macroscópica. Como la fórmula de Boltzman se refiere a objetos microscópicos, entonces doy la microscópica: es el grado de incertidumbre de un sistema. Es decir, mide qué tantas posibilidades hay en la evolución del sistema a partir de que tenemos un volumen y una temperatura dadas: por ejemplo, una molécula puede vibrar desde ese entonces hacia arriba o hacia abajo, y la otra también, y de repente se puede mover además hacia la izquierda o hacia la derecha, y así sucesivamente.

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8. El principio de mínima acción

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El principio de mínima acción es algo que probablemente no llevan los ingenieros en su currícula de pregrado. Sin embargo, es una parte central de la física contemporánea, y como está presente tanto en mecánica clásica, como teoría de la relatividad, mecánica cuántica y teoría cuántica de campos, se cree que es uno de esos “principios profundos” de la Física. Es de tal generalidad que con él se pueden obtener las ecuaciones de movimiento de cualquier sistema.

No hay una definición concreta de lo que es “acción” que no sea matemática, y cuando no hay definiciones así, se les llama “atributos” o “propiedades”. Así que la “acción” es un atributo de un sistema físico. Intuitivamente, podemos decir que el “principio de mínima acción” dice que la evolución de un sistema en el tiempo es o máxima o mínima (generalmente mínima). Una analogía es ésta: cuando soltamos una pelota de fútbol, esta cae en forma parabólica (que es un mínimo), pero no se da una vuelta por Lima y luego regresa para caer en el piso.

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9. La ecuación de De Broglie

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Louis De Broglie fue el primer físico (y creo que el único) en ganar el premio Nobel por una tesis de doctorado. Probablemente sea porque en el stress de completar la tesis no se cultive la creatividad.

De Broglie ganó el premio Nobel con una de las ecuaciones más sencillas de la historia. Si la vez, es sólo una proporción entre cuatro letras. Sin embargo, era la interpretación que le daba lo que revolucionaría el mundo: De Broglie decía que no sólo la luz era una onda (y a la vez partícula), sino también todas las demás partículas: los electrones, protones, neutrones, etc. Incluso nosotros, que no somos precisamente pequeños, somos a la vez ondas y partículas, según De Broglie. Luego, se pudo comprobar experimentalmente en el caso de esas partículas subatómicas, pero nunca se podrá comprobar en nuestro caso, pues somos muy grandes. En 1999 se pudo hacer la comprobación con moléculas relativamente grandes, los fulerenos. Pero hasta ahí es lo máximo que se ha llegado.

La ecuación de De Broglie relaciona la longitud de onda de la partícula (lambda) con el momento lineal de la misma (mv) y la constante de Planck (h).

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10. La transformada de Fourier

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Esto es algo que los ingenieros eléctricos y electrónicos deben haber visto hasta el cansancio. La usan para el procesamiento de señales analógicas, por ejemplo.

La transformada de Fourier convierte una función en otra. Esta otra función contiene las frecuencias de la primera función, si la primera función era una función con un dominio temporal. Así de simple. Y bueno, se hace porque el estudio matemático es más simple en el dominio de frecuencias que en el dominio del tiempo, generalmente.

Las aplicaciones de la transformada de Fourier son ilimitadas hoy en día. He visto al tema involucrado en procesamiento de imágenes digitales, resonancia magnética, mecánica cuántica, sistemas oscilatorios, cristalografía, óptica, etc.

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11. Las ecuaciones de campo de Einstein

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Parecería que sólo fuese una ecuación. Pero en realidad, son 16 ecuaciones. Los subíndices u y v que acompañan a las letras G (tensor de Einstein) y T (tensor de energía-impulso) indican sumatoria, y van de 1 a 4 (que la surgen de las cuatro dimensiones del espacio-tiempo: tres dimensiones del espacio y una dimensión del tiempo). Si se escriben completas, las 16 ecuaciones son un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que luce formidable.

Una de las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein (también llamadas ecuaciones de la Relatividad General) predice la existencia de los agujeros negros.

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12. La longitud una circunferencia

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Una de las primeras fórmulas geométricas que vemos en nuestra niñez, y la primera vez que vemos el número trascendental Pi, probablemente. Dependiendo de cómo nos la presenten, tal vez puede hacer que le agarremos un terror de por vida a la matemática, o que nos parezca misteriosa y apasionante.

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13. La ecuación de Dirac

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La ecuación de Dirac es la forma relativista de la ecuación de Schrödinger (osea, la que la generaliza y funciona también a velocidades cercanas a la de la luz). Es la única de esta lista que nunca había visto hasta antes de ver el ránking, aunque sí había escuchado de ella. Les he mostrado dos formas de la ecuación, ambas equivalentes. La segunda es más explícita. Aún así, no está desarrollada en su forma extendida. El superíndice y subíndice “u” en gamma y delta respectivamente, es notación de sumatoria. Sin embargo, a diferencia de las ecuaciones de campo de Einstein, aquí sólo tenemos una sola ecuación, pues los índices “u” se repiten. Delta indica derivada parcial covariante, “i” es la unidad imaginaria, y “m” la masa.

La ecuación de Dirac predijo la existencia de la antimateria, que ahora se produce normalmente en los aceleradores de partículas.

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14. La otra fórmula de Euler

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Hubiese esperado encontrar esta fórmula más arriba en el ránking. La”otra fórmula” de Euler provee una conexión inesperada entre los números primos (denotados por “p&quotLas ecuaciones más bellas de la historia de las CienciasLas ecuaciones más bellas de la historia de las Ciencias y la función zeta de Riemann (el término del lado izquierdo de la ecuación). La letra Pi mayúscula es símbolo de productoria, e indica que el resultado de la sumatoria de la izquierda es igual al producto de las fracciones mostradas en la derecha. “s” es un número complejo cualquiera.

La función zeta de Riemann es realmente misteriosa. Por ejemplo, cuando “s” es igual a cero en la sumatoria del lado izquierdo, se dice que su resultado será -1/2. Osea, que la suma de 1+1+1+1+1+… es igual a -1/2. ¿Sorprendente, no? De hecho, ésta es la Hipótesis de Riemann, y es el problema sin resolver más importante de la matemática: probar que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann están en s=1/2+ib, donde “b” es un número real e “i” es la unidad imaginaria. Quien lo logre resolver, se hará acreedor al premio de 1 millón de dólares del Instituto Clay de Matemáticas.

He aquí una gráfica de la función zeta de Riemann, donde los puntos oscuros son ceros, y los otros colores indican cuánto se aleja de cero:

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15. La Ley de Hubble

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Expresa la relación entre la velocidad con la que se alejan de nosotros todas las galaxias del universo y su distancia hacia nosotros. Es una de las pruebas del Big Bang (prueba que el universo se está expandiendo). A continuación se puede ver una gráfica de la relación velocidad – distancia de 1335 galaxias (nótese cómo se acercan todas a una recta):

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16. La ley de los gases ideales

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Probablemente la hayan visto primero en una clase de química, pero es una ecuación de la Física, específicamente de la termodinámica. La popular ecuación “PaVo RaTón”, relaciona la presión y volumen de un gas ideal con su termperatura y su número de moles. Está presentada en tanta formas que a veces confunde.

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17.- La distribución Gaussiana

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Es uno de los pilares de la estadística. En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

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18. Teorema fundamental del cálculo

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Porque toda las matemáticas de la física reposan sobre él. El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del “área bajo una función” estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

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19. La suma de logaritmos

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Porque permitió simplificar operaciones muy complejas.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos.

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20. El cuadrado de la unidad imaginaria

Porque el análisis complejo es esencial para resolver muchos problemas.

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: 5i es un número imaginario, así como i o -i son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

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Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :1 2 3

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Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a sqrt{-1} el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que sqrt{-1} era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

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Y de yapa, una ecuación que llevó más 3 siglos de quebraderos de cabezas para aquéllos matemáticos que siquiera lo intentaron y más de uno ni siquiera quiso agarrar esta ‘papa caliente’:

Teorema de Fermat

En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:

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El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado sino hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.

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