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falacias matemáticas, entra que explico.

falacias matemáticas, entra que explico.

Las falacias son razonamientos aparentemente correctos pero que en su desarrollo contienen errores y nos llevan a conclusiones totalmente falsas.

Aquí pondré una pequeña colección de singulares disparates matemáticos, todos ellos acompañados de una dempostración aparentemente correcta, pero que encierra siempre un error matemático. Tú tendrás que encontrar dónde está el error. Algunas de estas falacias son bastante conocidas, otras no tanto, pero todas son divertidas. Y ahí va la primera:

falacias matemáticas, entra que explico.

la siguiente es una “demostración” de que 1 es igual a 2.

Comenzamos suponiendo que hay dos variables iguales: x=y

Multiplicamos de ambos lados por y: xy = y^2

Restamos x² de ambos lados: xy-x^2 = y^2-x^2

En el lado izquierdo sacamos factor común x; el lado derecho es una diferencia de cuadrados, y se factoriza como suma por diferencia: x(y-x) = (y+x)(y-x)

Ya que y-x es factor de ambos lados, lo cancelamos: x = y+x

Finalmente, como x = y, podemos reemplazar y por x: x= 2x

Y cancelando x: 1 = 2

¿Dónde está el error? Sucede que “cancelar” un factor es realmente dividir por ese factor, o (como expliqué en lo de la división por cero) multiplicar por el inverso. Pero ya que x e y son iguales, x-y es cero. Por tanto, estamos cancelando un cero, lo cual no puede hacerse, así que la demostración es inválida.

matematicas

Hay falacias un poco más sutiles, y que involucran errores matemáticos distintos a la división por cero. Es posible “demostrar”, como dice el cliché, que 2+2 no siempre son 4; en particular, 2+2=5:

Comenzamos observando que todo número es igual a sí mismo, por ejemplo, el -20; es decir, -20=-20

Esto podemos expresarlo como 16-36 = 25-45

Lo cual equivale a (2+2)^2-2left(frac{9}{2}right)(2+2) = 5^2-2left(frac{9}{2}right)(5)

Sumamos de ambos lados 81/4, que es 9/2 al cuadrado: (2+2)^2 -2left(frac{9}{2}right)(2+2)+left(frac{9}{2}right)^2=5^2 -2left(frac{9}{2}right)(5)+left(frac{9}{2}right)^2

Obtenemos de cada lado un trinomio cuadrado perfecto, que procedemos a factorizar: ((2+2)-frac{9}{2})^2 = (5-frac{9}{2})^2

Cancelamos los cuadrados: (2+2) – frac{9}{2} = 5 – frac{9}{2}

Y finalmente eliminamos los 9/2: 2+2 = 5

¿Dónde está el error esta vez? En la gratuita operación de “cancelar los cuadrados”. Igual que con la división, “cancelar” una operación es ejecutar la operación inversa; en este caso, sacar raíz cuadrada. Pero debemos recordar que todo número tiene dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa. Por ejemplo, 3 al cuadrado es 9, pero -3 al cuadrado también es 9 (pues el producto de negativos es positivo).

Por tanto, si dos números al cuadrado son iguales, no necesariamente esos números son a su vez iguales, del mismo modo que 3 no es igual a -3, a pesar de que 3 al cuadrado sea lo mismo que -3 al cuadrado. En efecto, eso es lo que ocurre en la “demostración”: si hacemos las cuentas, estamos diciendo que 1/2 al cuadrado es lo mismo que -1/2 al cuadrado (lo cual es verdad), pero lo usamos para concluir que 1/2 es lo mismo que -1/2 (lo cual es falso). Con esa falsa igualdad, basta sumar cuatro y medio para obtener la falsa conclusión de que cuatro es igual a cinco.

virgo

Buena parte del entrenamiento que recibe un matemático consiste en saber detectar esta clase de errores y poder evitarlos. Cuando dividimos entre una variable n, observamos “para n diferente de cero”. Cuando sacamos una raíz cuadrada, nos aseguramos de incluir un signo “más o menos” para indicar que puede ser la raíz positiva o la negativa. Lo que es más importante: también nos aseguramos de no sacarle raíz cuadrada a un número negativo, pues no hay ningún número real que elevado al cuadrado dé un número negativo. Las raíces cuadradas de números negativos son números imaginarios, de los cuales también hablaré más adelante.

Por supuesto, así como existen estas falacias “elementales”, también existen falacias más complicadas, que recurren a conceptos del cálculo, el álgebra y otras especialidades; los errores se hacen progresivamente más difíciles de pescar. Buscar el error en las falsas demostraciones, así como diseñarlas en primera instancia, son todo un pasatiempo, y espero que a los lectores les haya llamado la atención esta faceta tan entretenida de las matemáticas formales.

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