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Ecuaciones logarítmicas

1. Introducción

Llamamos ecuación logarítmica a toda ecuación cuyas incógnitas se encuentren en los argumentos de logaritmos (dentro de los logaritmos). Por ejemplo,

Ecuaciones logarítmicas

(como es habitual, suponemos que la base del logaritmo es 10) tiene una única solución x = 50.

2. Resolución

Es imprescindible conocer las propiedades básicas de los logaritmos para poder resolver este tipo de ecuaciones. Recordamos estas propiedades:

  • Logaritmo del producto:
  • Ecuaciones logarítmicas

  • Logaritmo del cociente:
  • Ecuaciones logarítmicas

  • Logaritmo de una potencia:
  • Ecuaciones logarítmicas

  • Cambio de base:
  • Ecuaciones logarítmicas

  • Definición de logaritmo (la utilizamos mucho en la práctica)
  • Ecuaciones logarítmicas

Además, como tendremos números reales en las ecuaciones, tendremos que escribirlos en forma de logaritmo para poder aplicar las propiedades. Por ejemplo, 3 = log (1000) ya que 10 al cubo es 1000.

Es importante comprobar que, una vez obtenida la(s) solución(es) de la ecuación, los argumentos de todos los logaritmos tienen que ser positivos (si no es así, el logaritmo no existe).

2.1. Ejemplo 1

Vamos a resolver la ecuación de la introducción:

ejemplos de ecuaciones logaritmicas

sólo tenemos que tener en cuenta que podemos escribir 3 como log(1000) para aplicar la propiedad del logaritmo del cociente:

Ecuaciones logarítmicas

La igualdad entre los logaritmos (con la misma base) sólo puede darse cuando su argumento es el mismo, de ahí que podamos obtener directamente el valor de x.

2.2. Ejemplo 2

Ecuaciones logarítmicas

Lo primero que haremos es aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia (podemos entrar el 2 que multiplica al logaritmo como un cuadrado) y escribir 3 como log(1000):

Ecuaciones logarítmicas

En este caso hemos tenido que resolver una ecuación de segundo grado, pero solo hay una posible solución: x = 3 ya que en la ecuación tenemos log (x) y, por tanto, x no puede ser -2 porque es negativo (no existe tal logaritmo).

2.3. Más ejemplos

En este enlace podemos encontrar más ejemplos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas.

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